高等数学（下）期末复习：14.7 极值与鞍点

14.7 极值¹ 与鞍点 ²

区域极值³ 的导数判别

在一元函数中，通过水平切线来找到区域最大值⁴、区域最小值⁵ 和 inflection 点；对 应在多元函数中，通过水平切面来找到区域最大值、区域最小值和鞍点。

定义

若对于以 (a,b) 为中心的一个 open disk 内的任意定义域内的点 (x,y)，都 有 f(a,b) ≥ f(x,y)，则称 (a,b) 为 f 的区域最大值反之为区域最小值

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此时切平面如果存在，就是水平的。区域极值也称作相对极值 ⁶。

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定理 10：区域极值的一阶导数判别

如果 f(x,y) 在定义域的内点⁷(a,b) 处有区域最大值或最小值，，并且一阶偏导数 存在，则 f_x(a,b) = 0 且 f_y(a,b) = 0

REMARK：同一元函数的极值一样，导数为 0 是极值的必要而非充分条件，即使必要也 是在存在导数的情况下

和偏导数的定义类似，定理 10 通过先 “固定” 一个变量，再应用一元函数中的性质来证明。

定义

使得 f_x 和 f_y 均为 0 或至少有一个不存在的定义域的内点称为 critical 点。

Critical 点不一定就是极值点。

定义

可微函数 f(x,y) 定义域上的一点 (a,b)，若在以 (a,b) 为中心的任意 open disk 上， 都既有 f(x,y) > f(a,b)，又有 f(x,y) < f(a,b)，则称 (a,b,f(a,b)) 为 f 的鞍 点。

Figure 14.45

定理 11：区域极值的二阶导数判别

• 若 f_xx < 0 且 f_xxf_yy − f_xy² > 0，则在此处 f 有区域最大值
• 若 f_xx > 0 且 f_xxf_yy − f_xy² > 0，则在此处 f 有区域最小值
• 若 f_xxf_yy − f_xy² < 0，则在此处 f 有鞍点
• 若 f_xxf_yy − f_xy² = 0，则二阶导数判别不能得出结论 ⁸。

表达式 f_xxf_yy − f_xy² 称为 f 的判别式⁹ 或 Hessian，也可以写 成行列式形式：

$$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2=\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{xy}& f_{yy}\end{array}\right|$$

二阶导数判别的证明会在 14.9 中提到

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Closed Bounded Regions 上的绝对最大值与最小值

• 列出 critical points
• 列出边界点 ¹⁰
• 对比这些点的函数值

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1. extreme values↩︎

2. saddle points↩︎

3. local extreme values↩︎

4. local maxima↩︎

5. local minima↩︎

6. relative extrema↩︎

7. interior point↩︎

8. inconclusive↩︎

9. discriminant↩︎

10. boundary points↩︎