高等数学（下）期末复习：14.7 极值与鞍点

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14.7 极值1 与鞍点 2

区域极值3 的导数判别

在一元函数中，通过水平切线来找到区域最大值4、区域最小值5 和 inflection 点；对 应在多元函数中，通过水平切面来找到区域最大值、区域最小值和鞍点。

定义

若对于以 (a,b) 为中心的一个 open disk 内的任意定义域内的点 (x,y)，都 有 f(a,b) ≥ f(x,y)，则称 (a,b) 为 f 的区域最大值反之为区域最小值

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此时切平面如果存在，就是水平的。区域极值也称作相对极值 6。

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定理 10：区域极值的一阶导数判别

如果 f(x,y) 在定义域的内点7(a,b) 处有区域最大值或最小值，，并且一阶偏导数 存在，则 fx(a,b) = 0 且 fy(a,b) = 0

REMARK：同一元函数的极值一样，导数为 0 是极值的必要而非充分条件，即使必要也 是在存在导数的情况下

和偏导数的定义类似，定理 10 通过先 “固定” 一个变量，再应用一元函数中的性质来证明。

定义

使得 fx 和 fy 均为 0 或至少有一个不存在的定义域的内点称为 critical 点。

Critical 点不一定就是极值点。

定义

可微函数 f(x,y) 定义域上的一点 (a,b)，若在以 (a,b) 为中心的任意 open disk 上， 都既有 f(x,y) > f(a,b)，又有 f(x,y) < f(a,b)，则称 (a,b,f(a,b)) 为 f 的鞍 点。

Figure 14.45

定理 11：区域极值的二阶导数判别

  • 若 fxx < 0 且 fxxfyy − fxy2 > 0，则在此处 f 有区域最大值
  • 若 fxx > 0 且 fxxfyy − fxy2 > 0，则在此处 f 有区域最小值
  • 若 fxxfyy − fxy2 < 0，则在此处 f 有鞍点
  • 若 fxxfyy − fxy2 = 0，则二阶导数判别不能得出结论 8。

表达式 fxxfyy − fxy2 称为 f 的判别式9 或 Hessian，也可以写 成行列式形式：

$$ f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = \left | \begin{array}{c} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \\ \end{array} \right | $$

二阶导数判别的证明会在 14.9 中提到

Closed Bounded Regions 上的绝对最大值与最小值

  • 列出 critical points
  • 列出边界点 10
  • 对比这些点的函数值

  1. extreme values↩︎

  2. saddle points↩︎

  3. local extreme values↩︎

  4. local maxima↩︎

  5. local minima↩︎

  6. relative extrema↩︎

  7. interior point↩︎

  8. inconclusive↩︎

  9. discriminant↩︎

  10. boundary points↩︎