高等数学(下)期末复习:14.7 极值与鞍点
14.7 极值1 与鞍点 2
区域极值3 的导数判别
在一元函数中,通过水平切线来找到区域最大值4、区域最小值5 和 inflection 点;对 应在多元函数中,通过水平切面来找到区域最大值、区域最小值和鞍点。
定义
若对于以 (a,b) 为中心的一个 open disk 内的任意定义域内的点 (x,y),都 有 f(a,b) ≥ f(x,y),则称 (a,b) 为 f 的区域最大值反之为区域最小值

此时切平面如果存在,就是水平的。区域极值也称作相对极值 6。

定理 10:区域极值的一阶导数判别
如果 f(x,y) 在定义域的内点7(a,b) 处有区域最大值或最小值,,并且一阶偏导数 存在,则 fx(a,b) = 0 且 fy(a,b) = 0
REMARK:同一元函数的极值一样,导数为 0 是极值的必要而非充分条件,即使必要也 是在存在导数的情况下
和偏导数的定义类似,定理 10 通过先 “固定” 一个变量,再应用一元函数中的性质来证明。
定义
使得 fx 和 fy 均为 0 或至少有一个不存在的定义域的内点称为 critical 点。
Critical 点不一定就是极值点。
定义
可微函数 f(x,y) 定义域上的一点 (a,b),若在以 (a,b) 为中心的任意 open disk 上, 都既有 f(x,y) > f(a,b),又有 f(x,y) < f(a,b),则称 (a,b,f(a,b)) 为 f 的鞍 点。

定理 11:区域极值的二阶导数判别
- 若 fxx < 0 且 fxxfyy − fxy2 > 0,则在此处 f 有区域最大值
- 若 fxx > 0 且 fxxfyy − fxy2 > 0,则在此处 f 有区域最小值
- 若 fxxfyy − fxy2 < 0,则在此处 f 有鞍点
- 若 fxxfyy − fxy2 = 0,则二阶导数判别不能得出结论 8。
表达式 fxxfyy − fxy2 称为 f 的判别式9 或 Hessian,也可以写 成行列式形式:
二阶导数判别的证明会在 14.9 中提到
Closed Bounded Regions 上的绝对最大值与最小值
- 列出 critical points
- 列出边界点 10
- 对比这些点的函数值