高等数学(下)期末复习:14.7 极值与鞍点

14.7 极值1 与鞍点 2

区域极值3 的导数判别

在一元函数中,通过水平切线来找到区域最大值4、区域最小值5 和 inflection 点;对 应在多元函数中,通过水平切面来找到区域最大值、区域最小值和鞍点。

定义

若对于以 (a,b) 为中心的一个 open disk 内的任意定义域内的点 (x,y),都 有 f(a,b) ≥ f(x,y),则称 (a,b) f 的区域最大值反之为区域最小值

此时切平面如果存在,就是水平的。区域极值也称作相对极值 6

定理 10:区域极值的一阶导数判别

如果 f(x,y) 在定义域的内点7(a,b) 处有区域最大值或最小值,,并且一阶偏导数 存在,则 fx(a,b) = 0 fy(a,b) = 0

REMARK:同一元函数的极值一样,导数为 0 是极值的必要而非充分条件,即使必要也 是在存在导数的情况下

和偏导数的定义类似,定理 10 通过先 “固定” 一个变量,再应用一元函数中的性质来证明。

定义

使得 fx fy 均为 0 或至少有一个不存在的定义域的内点称为 critical 点

Critical 点不一定就是极值点。

定义

可微函数 f(x,y) 定义域上的一点 (a,b),若在以 (a,b) 为中心的任意 open disk 上, 都既有 f(x,y) > f(a,b),又有 f(x,y) < f(a,b),则称 (a,b,f(a,b)) f鞍 点

定理 11:区域极值的二阶导数判别

  • fxx < 0 fxxfyy − fxy2 > 0,则在此处 f区域最大值
  • fxx > 0 fxxfyy − fxy2 > 0,则在此处 f区域最小值
  • fxxfyy − fxy2 < 0,则在此处 f鞍点
  • fxxfyy − fxy2 = 0,则二阶导数判别不能得出结论 8

表达式 fxxfyy − fxy2 称为 f判别式9 Hessian,也可以写 成行列式形式:

fxxfyyfxy2=|fxxfxyfxyfyy|

二阶导数判别的证明会在 14.9 中提到


Closed Bounded Regions 上的绝对最大值与最小值

  • 列出 critical points
  • 列出边界点 10
  • 对比这些点的函数值

  1. extreme values↩︎

  2. saddle points↩︎

  3. local extreme values↩︎

  4. local maxima↩︎

  5. local minima↩︎

  6. relative extrema↩︎

  7. interior point↩︎

  8. inconclusive↩︎

  9. discriminant↩︎

  10. boundary points↩︎