高等数学（下）期末复习：14.7 极值与鞍点

14.7 极值 ¹ 与鞍点 ²

区域极值 ³ 的导数判别

在一元函数中，通过水平切线来找到区域最大值 ⁴、区域最小值 ⁵ 和 inflection 点；对 应在多元函数中，通过水平切面来找到区域最大值、区域最小值和鞍点。

定义

若对于以 \((a,b)\) 为中心的一个 open disk 内的任意定义域内的点 \((x,y)\)，都 有 \(f(a,b)\ge f(x,y)\)，则称 \((a,b)\) 为 \(f\) 的区域最大值反之为区域最小值

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此时切平面如果存在，就是水平的。区域极值也称作相对极值 ⁶。

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定理 10：区域极值的一阶导数判别

如果 \(f(x,y)\) 在定义域的内点 ⁷\((a,b)\) 处有区域最大值或最小值，，并且一阶偏导数 存在，则 \(f_x(a,b)=0\) 且 \(f_y(a,b)=0\)

REMARK：同一元函数的极值一样，导数为 0 是极值的必要而非充分条件，即使必要也 是在存在导数的情况下

和偏导数的定义类似，定理 10 通过先 “固定” 一个变量，再应用一元函数中的性质来证明。

定义

使得 \(f_x\) 和 \(f_y\) 均为 0 或至少有一个不存在的定义域的内点称为 critical 点。

Critical 点不一定就是极值点。

定义

可微函数 \(f(x,y)\) 定义域上的一点 \((a,b)\)，若在以 \((a,b)\) 为中心的任意 open disk 上， 都既有 \(f(x,y)>f(a,b)\)，又有 \(f(x,y)<f(a,b)\)，则称 \((a,b,f(a,b))\) 为 \(f\) 的鞍 点。

Figure 14.45

定理 11：区域极值的二阶导数判别

• 若 \(f_{xx} < 0\) 且 \(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 > 0\)，则在此处 \(f\) 有区域最大值
• 若 \(f_{xx} > 0\) 且 \(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 > 0\)，则在此处 \(f\) 有区域最小值
• 若 \(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 < 0\)，则在此处 \(f\) 有鞍点
• 若 \(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 0\)，则二阶导数判别不能得出结论 ⁸。

表达式 \(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) 称为 \(f\) 的判别式 ⁹ 或 Hessian，也可以写 成行列式形式：

\[ f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = \left | \begin{array}{c} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \\ \end{array} \right | \]

二阶导数判别的证明会在 14.9 中提到

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Closed Bounded Regions 上的绝对最大值与最小值

• 列出 critical points
• 列出边界点 ¹⁰
• 对比这些点的函数值

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1. extreme values↩︎

2. saddle points↩︎

3. local extreme values↩︎

4. local maxima↩︎

5. local minima↩︎

6. relative extrema↩︎

7. interior point↩︎

8. inconclusive↩︎

9. discriminant↩︎

10. boundary points↩︎