高等数学（下）期末复习：16.5 曲面与面积

之前提到的平面上的曲线定义有以下几种形式

名称	数学表达
显式	y = f(x)
隐式	F(x,y) = 0
参数化矢量形式	r(t) = f(t)i + g(t)j,  a ≤ t ≤ b.

空间中的曲线也有几种表达形式

名称	数学表达
显式	z = f(x,y)
隐式	F(x,y,z) = 0

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曲面的参数化

假定有定义在 uv 平面钟区域 R 上的连续矢量函数

r(u,v) = f(u,v)i + g(u,v)j + h(u,v)k.

则称 r 的 range 为由 r 定义或 traced 的曲面，变量 u，v 称 为参数，R 为参数定义域。

也可以分别携程三个坐标的形式

x = f(u,v),  y = g(u,v),  z = h(u,v).

要求矢量和 R 内部的点能一一映射

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曲面面积

目标是基于参数方程找到利用二重积分计算曲面面积的方法！首先需要确保曲面为光滑。

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{r}}_u=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial u}\mathbf{i}+\frac{\partial g}{\partial u}\mathbf{j}+\frac{\partial h}{\partial u}\mathbf{k}\\ & {\mathbf{r}}_v=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial v}\mathbf{i}+\frac{\partial g}{\partial v}\mathbf{j}+\frac{\partial h}{\partial v}\mathbf{k}.\end{array}$$

定义：当 r_u 与 r_v 为连续 且 r_u × r_u 对参数定义域内任意一点均不为零时，该曲 面光滑。

曲线参数方程的两个偏导数不为零且不共线，也即它们总能定义一个与曲面相切的平面。

考虑参数定义域 R 上的一个小矩形 ΔA_uv，它的每条边都会映射到曲面上的一条 曲线，构成一个 “curved patch element” Δσ_uv

image-20200813140458024

接下来用切平面上的平行四边形对 surface patch element 的面积进行估计

|Δur_u×Δvr_u| = |r_u×r_v|ΔuΔv.

接下来又是对黎曼和取极限，得到积分的老套路了。

定义：光滑曲面

r(u,v) = f(u,v)i + g(u,v)j + h(u,v)k,  a ≤ u ≤ b,  c ≤ v ≤ d

的面积为

$$A=\underset{R}{\iint }|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dA={\int }_c^d{\int }_a^b|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv.$$

image-20200813144159770

参数曲面的曲面面积 Differential

$$d\sigma =|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv\underset{S}{\iint }d\sigma$$

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隐¹ 曲面

曲面也可以表示为函数的 level sets，例如 F(x,y,z) = c，其中 c 为某个常数。

Fig. 16.44

有曲面 F(x,y,z) = c 定义在 “shadow” 区域 R 的上方，假定该曲面光滑（F 可 微，∇F 非零且连续），p 为 R 的单位法向量。

再假定 p = k，也就是 R 位于 xy 平面上，根据之前的假定 有∇F ⋅ p = ∇F ⋅ k = F_z ≠ 0

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1. Implicit↩︎