高等数学（下）期末复习：16.4 平面上的格林定理

16.4 平面上的格林定理 ¹

对于保守场上的线积分，既可以直接通过在路径上积分计算，也可以找到势函数再计算。这 一节有关于一种在平面上的封闭路径上，将非保守场的路径积分转化为二重积分来计算的方 法。

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绕轴旋转：旋度 ² 的 k 分量

假定有平面上的流体速度场 F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j，

Fig. 16.26

在这个小矩形上，要计算矢量场的路径积分，可以分别计算四条边（都与坐标轴平行）上的 积分，再相加，略过过程，结果为

$$(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y.$$

很自然地想到将这个结果与 partition 的面积作比值

定义：矢量场 F = Mi + Nj 在点 (x,y) 处的环流密 度 ³ 为

$$\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}.$$

这一表达式也称为旋度的 k 分量，表示 为 (curl F⋅k)。

这一量的符号与赝矢量的符号判别相统一。

根据矢量场的旋度 k 分量的不同，有几种典型的表现

Fig. 16.28

• Uniform Expansion
• Rotation
• Shear
• Whirlpool

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散度 ⁴

与前一部分讨论的旋度类似，散度所要计算的是 “向外发散” 的程度，因此需要计算矢量场在 各条边上垂直分量的积分。直接给出最后的散度定义

Fig. 16.30

定义：矢量场 F = Mi + Nj 在点 (x,y) 处的散 度（通量密度）为

$$\text{div }\mathbf{F}=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}.$$

格林定理的两种形式

定理 4：格林定理（环流 - 旋度或切向形式） >C 为 piecewise smooth，simple closed 曲线，在平面上围成区域 R；矢量场 F = Mi + Nj 的 分量有连续的一阶偏导数，在 R 上有定义。则 F 围绕 C 的逆时针环流等 于 (curl F⋅k) 在 R 上的二重积分

$$\underset{C}{\oint }\mathbf{F}\cdot \mathbf{T}ds=\underset{C}{\oint }Mdx+Ndy=\underset{R}{\iint }(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy.$$

定理 5：格林定理（通量 - 散度或法向形式） >C 为 piecewise smooth，simple closed 曲线，在平面上围成区域 R；矢量场 F = Mi + Nj 的 分量有连续的一阶偏导数，在 R 上有定义。则 F 穿过 C 的外向通量等 于 div F 在 R 上的二重积分

$$\underset{C}{\oint }\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}ds=\underset{C}{\oint }Mdx+Ndy=\underset{R}{\iint }(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy.$$

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特殊区域上的格林定理证明

假如有这样的一个 xy 平面上的简单封闭曲线 C，任何一条平行于坐标轴的直线最多与其 交与两点，其包围的区域为 R，环流 - 旋度形式格林定理可以表述为如下：

$$\underset{C}{\oint }Mdx+Ndy=\underset{R}{\iint }(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy.$$

凡是满足这个条件的区域都可以认为是有两条函数图象围成的：

C₁:  y = f₁(x),  a ≤ x ≤ b,  C₂:  y = f₂(x),  b ≥ x ≥ a.

Fig. 16.33

对于任意的 x，将∂M /∂y 对 y 积分

$${{\int }_{f_1(x)}^{f_2(x)}\frac{\partial M}{\partial y}dy=M(x,y)]}_{y=f_1(x)}^{y=f_2(x)}=M(x,f_2(x))-M(x,f_1(x)).$$

再将其对 x 积分

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b{\int }_{f_1(x)}^{f_2(x)}\frac{\partial M}{\partial y}dydx=& {\int }_a^b[M(x,f_2(x))-M(x,f_1(x))]x\\ =& -{\int }_b^{a}M(x,f_2(x))dx-{\int }_b^{a}M(x,f_1(x))dx\\ =& -{\int }_{C_2}Mdx-{\int }_{C_1}Mdx\\ =& -{\int }_{C}Mdx\end{array}$$

提出负号，得到

$$\underset{C}{\oint }Ndx=\underset{R}{\iint }(-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy.$$

同理可以得到格林定理的另一部分

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REMARK：似乎在这一节里，大部分证明的思路都与将一个 loop 分成两部分分别计算有 关？

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1. Green’s Theorem↩︎

2. Curl↩︎

3. circulation density↩︎

4. Divergence↩︎