高等数学（下）期末复习：16.3 Path Independence、保守场与势函数

Posted on 2020-08-11 Edited on 2025-05-15 Views: 35 Word count in article: 1.8k Reading time ≈ 7 mins.

16.3 Path Independence、保守场 ¹ 与势函数 ²

重力场和电场中，移动一定质量或电荷所做的功都与移动的路径无关，而只依赖于起点和重点。这一节有关于具有这种性质的矢量场，以及计算与之相关的做功的积分。

Path Independence

定义：F 为定义在空间中开放区域 D 上的矢量场，假定对于 D 中任意的 A、B 两点，从 A 到 B 的线积分∫_CF ⋅ d𝐫 都与路径无关。则称积分∫_CF ⋅ d𝐫 在 D 上 path independent，并且场 F 在 D 上保守。

定义：若 F 为定义在 D 上的矢量场，且存在某个 D 上的标量函数 f，使得 F = ∇f，则 f 称为 F 的势函数

如果找到了势函数，就能以另一种方式 evaluate 线积分

∫_A^BF ⋅ d𝐫 = ∫_A^B∇f ⋅ d𝐫 = f(B) − f(A).

这个式子是微积分基本定理的翻版。

对曲线、矢量场与定义域的假定

要让接下来的一些结论成立，需要对所考虑的曲线、曲面、定义域和矢量场的一些性质作一些预设。

曲线必须为 piecewise smooth，也就是由有限的光滑曲线首尾衔接而成
定义域必须为 connected，即定义域内任意两点都可以由一条光滑曲线相连接
某些结论要求定义域必须为 simply connected，即定义域内的任意一个 loop，都可以在不离开定义域的前提下缩小为一个点

保守场中的线积分

梯度场 F 可以由对标量函数 f 求导得到，类似于微积分基本定理，可以得到如下定理

定理 1：线积分基本定理 令 C 为连接点 A 与点 B 的可被参数化为 r(t) 的光滑曲线；令 f 为定义在包含 C 的定义域内的具有连续梯度向量 F = ∇f 的可导函数，则

∫_CF ⋅ d𝕣 = f(B) − f(A).

定理 1 的证明

$\begin{aligned} \int_{C} F \cdot d r & = \int_{A}^{B} \nabla f \cdot d r \\ = \int_{t = a}^{t = b} \nabla f (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{d}{d t} f (r (t)) d t Recall total differential in 14.5 \\ = f (r (b)) - f (r (a)) \\ = f (B) - f (A) \end{aligned} .$

关于梯度和全微分之间的变换是最 tricky 的一环，展开再写一下：

$\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (r (t)) = & \frac{d}{d t} f (g (t), h (t), k (t)) \\ = & \frac{\partial f}{\partial g} \frac{d g}{d t} + \frac{\partial f}{\partial h} \frac{d h}{d t} + \frac{\partial f}{\partial k} \frac{d k}{d t} \\ = & ⟨ \frac{\partial f}{\partial g} i, \frac{\partial f}{\partial h} j, \frac{\partial f}{\partial k} k ⟩ \cdot ⟨ \frac{d g}{d t} i, \frac{d h}{d t} j, \frac{d k}{d t} k ⟩ \\ = & \nabla f (r (t)) \cdot r^{'} (t) . \end{aligned}$

定理 2：保守场都是梯度场 >F = Mi + Nj + Pk 为空间中一个 open connected 区域上的矢量场，且 component 连续，则当且仅当 F 为某一个可微函数 f 的梯度场∇f 时，F 为保守场。

定理 2 的证明

目标：对于每一个保守场 F，都找到一个对应的 f，使得 F = ∇f。

首先，找到一个点 A，定义 f(A) = 0；再找到一个点 B，定义 f(B) = ∫_CF ⋅ d𝐫 ，其中 C 为连接 A、B 两点的任意的路径。

为了证明定理 2，需要对 f 求偏导数。

假定 B 的坐标为 (x,y,z)，在 B 附近的一个点为 B₀(x₀,y,z)，其上的函数值为 f(B₀) = ∫_C₀F ⋅ d𝐫 。

取一条路径 C = C₀ ∪ L，也就是从 A 到 B 的路径接上 B 到 B₀ 的线段。当 B₀ 与 B 的距离很近时，L 肯定也在定义域内。根据可加性，有

f(x,y,z) = ∫_C₀F ⋅ d𝐫 + ∫_LF ⋅ d𝐫 .

求偏导，得到

$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\int_{C_{0}} F \cdot d r + \int_{L} F \cdot d r) = \frac{\partial}{\partial x} \int_{L} F \cdot d r .$

将 L 参数化为 r(t) = ti + yj + zk, x₀ ≤ t ≤ x（因为 B₀ 相对于 B 只在 x 方向有移动），则 d𝐫 /dt = i，F ⋅ d𝐫 /dt = M，进一步得到

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y, z) = \frac{\partial}{\partial x} \int_{x_{0}}^{x} M (t, y, z) d t = M (x, y, z) .$

同理可以在其他几个方向进行证明。

定理 3：保守场的 Loop 性质 以下两个表述等价：

∮_CF ⋅ d𝐫 = 0 对任意一个 D 上的 loop 都成立

F 在 D 上保守

定理 3 Pt.1 ⇒ Pt.2 证明

取一个 loop 的两部分 C₁ 和 C₂

∫_C₁F ⋅ d𝐫 − ∫_C₂F ⋅ d𝐫 = ∫_C₁F ⋅ d𝐫 + ∫_− C₂F ⋅ d𝐫 = ∫_CF ⋅ d𝐫 = 0

定理 3 Pt.2 ⇒ Pt.1 证明

$\oint_{C} F \cdot d r = \oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r = \int_{A}^{B} F \cdot d r - \int_{A}^{B} F \cdot d r = 0$

思路同样是将一个环路拆成两部分。

找到保守场的势

保守场的分量判别 ³ >F = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k 为 simply connected 定义域上的矢量场，且其分量都有连续的一阶偏导数，则 F 保守的充要条件为

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}, \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}, and \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y} .$

也就是交叉求偏导数，结果相等。

证明

存在势函数 f 则有

$F = M i + N j + P k = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k .$

则有

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial N}{\partial z} .$

通过保守场和原函数偏导数的关系，再结合混合偏导数定理证明。

Exact 微分形式 ⁴

定义：形如 M(x,y,z)dx + N(x,y,z)dy + P(x,y,z)dz 为微分形式；微分形式为 exact 当

$M d x + N d y + P d z = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y + \frac{\partial f}{\partial z} d z = d f$

f 为定义域上的标量函数

有点类似于前面提到的保守场的问题（不就是同一个概念吗）

微分形式 Exactne 的分量判别 simply connected 定义域上的微分形式 Mdx + Ndy + Pdz 为 exact 的充要条件为

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}, \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}, and \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y} .$

等价于场 F = Mdx + Ndy + Pdz 保守

Conservative Fields↩︎
Potential Functions↩︎
Component Test↩︎
Differential Form↩︎

16.3 Path Independence、保守场 1 与势函数 2