高等数学（下）期末复习：16.2 矢量场与线积分：功、环流和通量

16.2 矢量场¹ 与线积分：功、环流² 和通量 ³

重力和电场力等都既有大小又有方向，由此构成了矢量场。这一节有关于通过线积分计算在 矢量场中移动物体时的做功。

矢量场

Generally，矢量场为一个为定义域内每个点都赋予一个矢量函数值的函数。三维空间 中的矢量场形如

F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k.

如果 component functionsM，N，P 连续，则称该场连续；如果 component functions 可微，则称该场可微。二维条件下的矢量场形如

F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j.

另一种形式的矢量场为之前的章节中提到的一条曲线的切向量 T 与法向 量 N，构成了这条曲线上的向量场。沿着曲线 r(t)，可以将这一向 量场参数化为

v(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k.

如果对一个三元的标量函数取梯度∇f，也会得到一个三维空间内的向量场。

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梯度场

梯度向量描述的是一个标量函数在某一点变化最大的一个方向。我们定义梯度场为一个 可微函数 f(x,y,z) 的梯度向量构成

$$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$$

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梯度场的线积分

假设有矢量 场 F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k， 其具有连续的 components；假设曲线 C 有连续的参数 化 r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k, a ≤ t ≤ b。

在曲线上的每一点，都有一个前进方向 ⁴，也即切线方向

$$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}.$$

直观来讲，矢量场对一条曲线的线积分，就是在这条曲线的前进方向上的积分，由内积给出

$$\mathbf{F}\cdot \mathbf{T}=\mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{ds}$$

定义：令 F 为一具有连续 component，且定义在可参数化 为 r(t), a ≤ t ≤ b 的 smooth 曲线 C 上的矢量场。 则 F 沿 C 的线积分为

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{T}ds={\int }_C(\mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{ds})ds={\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$

Evaluate F=_Mi + Nj + Pk 沿 % C: r (t) = g (t) i + h (t) j + k (t) k$ 的线积 分

1. 将矢量场通过坐标的参数代换表达为 F(r(t))
2. 找到导函数（速度）向量 d𝐫 /dt 
3. 对参数 t 求线积分，得到

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt.$$

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对 dx, dy, dz 的线积分

在实际应用中，经常需要计算矢量场在某一分量上的积分，例 如∫_CMdx 。首先定义出只在一个分量方向上的矢量 场 F = M(x,y,z)i，再对曲线积分

$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt=M(x,y,z)g^{\prime }(t)dt=M(x,y,z)dx.$$

其他的分量在作内积时都变成 0 了，只剩下我们所需要的这个分量。所需要的积 分可以简写为

∫_CM(x,y,z)dx  = ∫_a^bM(g(t),h(t),k(t))g′(t)dt 

不同分量上的积分组合时，可以简写为

∫_CM(x,y,z)dx  + ∫_CN(x,y,z)dy  + ∫_CP(x,y,z)dz  = ∫_CMdx  + Ndy  + Pdz .

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力沿空间中曲线做的功

这部分推导太简单，并且大物里也有

$$\begin{array}{rlr}W=& {\int }_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{T}ds& \text{The definition}\\ =& {\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}& \text{Vector differential form}\\ =& {\int }_a^b\mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}& \text{Parametric vector evaluation}\\ =& {\int }_a^b[M{g}^{\prime }(t)+N{h}^{\prime }(t)+P{k}^{\prime }(t)]dt& \text{Parametric scalar evaluation}\\ =& {\int }_{C}Mdx+Ndy+Pdz& \text{Scalar differential form}\end{array}$$

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速度场的流量⁵ 积分与环流

定义：若 r(t)smooth 地参数化连续速度场 F 定义域中的曲 线 C，则沿曲线从 A = r(a) 到 B = r(b) 的流量为

Flow = ∫_CF ⋅ Tds .

这一积分称作流量积分，若曲线封闭，即 A = B，则流量被称作沿曲线的环流

如果以相反的方向计算流量，T 将会反向，结果也会反向。

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穿过简单⁶ 封闭⁷ 平面曲线的通量

如果一条平面上的曲线不与它自身交叉，则称这条曲线是简单的。如果曲线起始、结束 于同一点，则称这条曲线为封闭曲线或环⁸。为了描述流体进入或离开由光滑曲 线围绕的区域的程度，可以计算 C 上的线积分 F ⋅ n。只有正交方 向上的量与通量相关联，可以忽略切线方向上的分量。

Fig. 16.20

定义：若 C 为定义在连续矢量 场 F = M(x,y)i + N(x,y)j 定义域平面内的光滑曲线， 且 n 为指向外部的 C 的单位法向量，则 F 穿过 C 的通量为

Flux of F across C = ∫_CF ⋅ nds .

要计算通量，首先要找到单位法向量，可以通过单位切向量 T 与垂直于平面的单 位向量 k 作叉乘来得到。但是，叉乘的先后顺序与曲线的环流方向有关。

Fig. 16.21

在逆时针的条件下，法向量为

$$\mathbf{n}=\mathbf{T}\times \mathbf{k}=(\frac{dx}{ds}\mathbf{i}+\frac{dy}{ds}\mathbf{j})\times \mathbf{k}=\frac{dy}{ds}\mathbf{i}-\frac{dx}{ds}\mathbf{j}.$$

矢量场为 F = M(x,y)i + N(x,y)j，则

$$\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=M(x,y)\frac{dy}{ds}-N(x,y)\frac{dx}{ds}.$$

则有

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}ds={\int }_C(M\frac{dy}{ds}-N\frac{dx}{ds})ds=\underset{C}{\oint }Mdy-Ndx.$$

（环路积分号上还有个箭头符号，没打出来）

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1. Vector Fields↩︎

2. Circulation↩︎

3. Flux↩︎

4. forward direction↩︎

5. Flow↩︎

6. Simple↩︎

7. Closed↩︎

8. loop↩︎