高等数学（下）期末复习：16.2 矢量场与线积分：功、环流和通量
16.2 矢量场 1 与线积分：功、环流 2 和通量 3
重力和电场力等都既有大小又有方向，由此构成了矢量场。这一节有关于通过线积分计算在 矢量场中移动物体时的做功。
矢量场
Generally，矢量场为一个为定义域内每个点都赋予一个矢量函数值的函数。三维空间 中的矢量场形如
\[ \mathbf{F}(x,y,z) = M(x,y,z)\mathbf{i} + N(x,y,z)\mathbf{j} + P(x,y,z)\mathbf{k}. \]
如果 component functions\(M\)，\(N\)，\(P\) 连续，则称该场连续；如果 component functions 可微，则称该场可微。二维条件下的矢量场形如
\[ \mathbf{F}(x,y) = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j}. \]
另一种形式的矢量场为之前的章节中提到的一条曲线的切向量 \(\mathbf{T}\) 与法向 量 \(\mathbf{N}\)，构成了这条曲线上的向量场。沿着曲线 \(\mathbf{r}(t)\)，可以将这一向 量场参数化为
\[ \mathbf{v}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}. \]
如果对一个三元的标量函数取梯度 \(\nabla f\)，也会得到一个三维空间内的向量场。
梯度场
梯度向量描述的是一个标量函数在某一点变化最大的一个方向。我们定义梯度场为一个 可微函数 \(f(x,y,z)\) 的梯度向量构成
\[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}. \]
梯度场的线积分
假设有矢量 场 \(\mathbf{F}(x,y,z) = M(x,y,z)\mathbf{i} + N(x,y,z)\mathbf{j} + P(x,y,z)\mathbf{k}\)， 其具有连续的 components；假设曲线 \(C\) 有连续的参数 化 \(\mathbf{r}(t) = g(t)\mathbf{i} + h(t)\mathbf{j} + k(t)\mathbf{k},a\le t\le b\)。
在曲线上的每一点，都有一个前进方向 4，也即切线方向
\[ \mathbf{T} = \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}. \]
直观来讲，矢量场对一条曲线的线积分，就是在这条曲线的前进方向上的积分，由内积给出
\[ \mathbf{F}\cdot\mathbf{T} = \mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}} \]
定义：令 \(\mathbf{F}\) 为一具有连续 component，且定义在可参数化 为 \(\mathbf{r}(t),a\le t\le b\) 的 smooth 曲线 \(C\) 上的矢量场。 则 \(\mathbf{F}\) 沿 \(C\) 的线积分为
\[ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds} = \int_C \left( \mathbf{F}\cdot\frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{ds}} \right)\mathop{ds} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}. \]
Evaluate \(F = _M_i + Nj + Pk\) 沿 % C: r (t) = g (t) i + h (t) j + k (t) k$ 的线积 分
- 将矢量场通过坐标的参数代换表达为 \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\)
- 找到导函数（速度）向量 \(\mathop{d\mathbf{r}}/\mathop{dt}\)
- 对参数 \(t\) 求线积分，得到
\[ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}}\mathop{dt}. \]
对 dx, dy, dz 的线积分
在实际应用中，经常需要计算矢量场在某一分量上的积分，例 如 \(\displaystyle\int_C M\mathop{dx}\)。首先定义出只在一个分量方向上的矢量 场 \(\mathbf{F} = M(x,y,z)\mathbf{i}\)，再对曲线积分
\[ \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}}\mathop{dt} = M(x,y,z)g'(t)\mathop{dt} = M(x,y,z)\mathop{dx}. \]
其他的分量在作内积时都变成 \(\mathbf{0}\) 了，只剩下我们所需要的这个分量。所需要的积 分可以简写为
\[ \int_C M(x,y,z)\mathop{dx} = \int_a^b M(g(t),h(t),k(t))g'(t)\mathop{dt} \]
不同分量上的积分组合时，可以简写为
\[ \int_C M(x,y,z)\mathop{dx} + \int_C N(x,y,z)\mathop{dy} + \int_C P(x,y,z)\mathop{dz} = \int_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} + P\mathop{dz}. \]
力沿空间中曲线做的功
这部分推导太简单，并且大物里也有
\[ \begin{aligned} W = & \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds} & \text{The definition} \\ = & \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} & \text{Vector differential form} \\ = & \int_a^b \mathbf{F}\cdot \frac{\mathop{d\mathbf{r}}}{\mathop{dt}} & \text{Parametric vector evaluation} \\ = & \int_a^b [Mg'(t) + Nh'(t) + Pk'(t)]\mathop{dt} & \text{Parametric scalar evaluation} \\ = & \int_C M\mathop{dx} + N\mathop{dy} + P\mathop{dz} & \text{Scalar differential form} \end{aligned} \]
速度场的流量 5 积分与环流
定义：若 \(\mathbf{r}(t)\)smooth 地参数化连续速度场 \(\mathbf{F}\) 定义域中的曲 线 \(C\)，则沿曲线从 \(A=\mathbf{r}(a)\) 到 \(B=\mathbf{r}(b)\) 的流量为
\[ \text{Flow} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\mathop{ds}. \]
这一积分称作流量积分，若曲线封闭，即 \(A=B\)，则流量被称作沿曲线的环流
如果以相反的方向计算流量，\(\mathbf{T}\) 将会反向，结果也会反向。
穿过简单 6 封闭 7 平面曲线的通量
如果一条平面上的曲线不与它自身交叉，则称这条曲线是简单的。如果曲线起始、结束 于同一点，则称这条曲线为封闭曲线或环 8。为了描述流体进入或离开由光滑曲 线围绕的区域的程度，可以计算 \(C\) 上的线积分 \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\)。只有正交方 向上的量与通量相关联，可以忽略切线方向上的分量。
定义：若 \(C\) 为定义在连续矢量 场 \(\mathbf{F} = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j}\) 定义域平面内的光滑曲线， 且 \(\mathbf{n}\) 为指向外部的 \(C\) 的单位法向量，则 \(\mathbf{F}\) 穿过 \(C\) 的通量为
\[ \text{Flux of }\mathbf{F}\text{ across } C = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\mathop{ds}. \]
要计算通量，首先要找到单位法向量，可以通过单位切向量 \(\mathbf{T}\) 与垂直于平面的单 位向量 \(\mathbf{k}\) 作叉乘来得到。但是，叉乘的先后顺序与曲线的环流方向有关。
在逆时针的条件下，法向量为
\[ \mathbf{n} = \mathbf{T}\times\mathbf{k} = \left( \frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}\mathbf{i} + \frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}}\mathbf{j} \right)\times\mathbf{k} = \frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}}\mathbf{i} - \frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}\mathbf{j}. \]
矢量场为 \(\mathbf{F} = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j}\)，则
\[ \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = M(x,y)\frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}} - N(x,y)\frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}}. \]
则有
\[ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\mathop{ds} = \int_C \left( M\frac{\mathop{dy}}{\mathop{ds}} - N\frac{\mathop{dx}}{\mathop{ds}} \right)\mathop{ds} = \oint\limits_C M\mathop{dy} - N\mathop{dx}. \]
（环路积分号上还有个箭头符号，没打出来）