高等数学（下）期末复习：16.1 线积分

有时为了计算出空间中一条曲线形状的线条的质量，或者是计算变力沿着某条曲线的做工， 需要对这条曲线而非某个区间进行积分。于是我们引入线积分的概念（实际上路径积分这个 词更准确）。

假设我们需要将实值函数 f(x,y,z) 沿曲线 C 进行积分，C 处在 f 的定义域 内，且可被参数化为 r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k, a ≤ t ≤ b。 f 在路径上的函数值可以表达为 f(g(t),h(t),k(t))，现在需要将这个复合函数的根 据从 t = a 到 t = b 的 arc length 进行求和。

Fig. 16.1

首先，将曲线 C 从 t = a 到 t = b 划分成 n 条 subarcs，某一条 subarc 的长度为 Δs_k。在每一条 subarc 里选择一个点 (x_k,y_k,z_k)，则对应的黎曼和为

$$S_n=\sum _{k=1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\mathrm{\Delta }{s}_k.$$

定义：若 f 为定义在可参数化为 r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k, a ≤ t ≤ b 的 曲线 C 上的函数，则 f 在 C 上的线积分为

$${\int }_{C}f(x,y,z)ds=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\mathrm{\Delta }{s}_k$$

如果曲线 C 在定义域上都是 smooth 的，也即 v = d𝐫 /dt  连续且不为 0，并且函数 f 在 C 上也是连续的，那么可以证明上述的积分存在。可以通过运用微积分基本定理 对 arc length 微分

s(t) = ∫_a^t|v(τ)|dτ 

重新代入积分式中，可以变形得到

∫_Cf(x,y,z)ds  = ∫_a^bf(g(t),h(t),k(t))|v(t)|dt .

如何 evaluate 一个线积分

• 找到曲线 C 的一个 smooth 参数化

r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k,  a ≤ t ≤ b.

• 根据下式 evaluate 线积分

∫_Cf(x,y,z)ds  = ∫_a^bf(g(t),h(t),k(t))|v(t)|dt .

f(g(t),h(t),k(t)) 也可以写作 f(r(t))。

可加性

如果一条曲线 C 是 piecewise smooth 的，那么可以将不同区间上的积分相加

∫_Cfds  = ∫_C1fds  + ∫_C2fds  + ⋯ + ∫_Cnfds .

两点之间的线积分可能随积分路径的改变而改变

质量与 moment 计算

假设一条螺旋型弹簧或是线的质量是随着一条空间中的 smooth 曲线均匀分布的，单位 arc length 上的质量可以连续地表达为 δ(x,y,z)。曲线 C 可以表达为连续的参数 化 r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k,  a ≤ t ≤ b， 那么 arc length 微分可以由下式给出

$$ds=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}dt.$$

这样一来质量就可以利用线积分来计算

$$M={\int }_a^b\delta (x(t),y(t),z(t))\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}dt.$$

空间中 smooth 曲线 C 上的螺旋弹簧、线与细杆的质量和 moment 公式

质量：M = ∫_Cδds 

关于坐标平面的 first moments：

M_yz = ∫_Cxδds ,  M_xz = ∫_Cyδds ,  M_xy = ∫_Czδds 

质心坐标：

x̄ = M_yz/M,  ȳ = M_xz/M,  z̄ = M_xy/M

关于坐标轴和其他直线的转动惯量：

$$\begin{array}{rl}& I_x{\int }_C(y^2+z^2)\delta ds,I_y{\int }_C(x^2+z^2)\delta ds,I_z{\int }_C(x^2+y^2)\delta ds,\\ \\ & I_x{\int }_C{r}^2\delta dsr(x,y,z)=\text{distance from the point }(x,y,z)\text{ to line }L\end{array}$$

平面上的线积分

对于一个平面上的曲线的线积分，有一种很巧妙的几何 interpretation。如果 C 是一条 xy- 平面上的可以被参数化为 r(t) = x(t)i + y(ts)j, a ≤ t ≤ b 的 smooth 曲线，通 过沿着 C 移动一条垂直于 xy 平面的线段，我们可以由此生成一个 cylindrical 曲 面 —— 线段的长度应当为 f(x,y)。

Fig. 16.5

这样生成的图形有点类似于篱笆，这些「篱笆」的面积之和即为 f 对曲线 C 的线积 分。

$${\int }_{C}fds=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}f(x_k,y_k)\mathrm{\Delta }{s}_k$$