高等数学（下）期末复习：16.1 线积分
有时为了计算出空间中一条曲线形状的线条的质量，或者是计算变力沿着某条曲线的做工， 需要对这条曲线而非某个区间进行积分。于是我们引入线积分的概念（实际上路径积分这个 词更准确）。
假设我们需要将实值函数 \(f(x, y, z)\) 沿曲线 \(C\) 进行积分，\(C\) 处在 \(f\) 的定义域 内，且可被参数化为 \(\mathbf r(t) = g(t)\mathbf i + h(t)\mathbf j + k(t)\mathbf k, a \le t \le b\)。 \(f\) 在路径上的函数值可以表达为 \(f(g(t), h(t), k(t))\)，现在需要将这个复合函数的根 据从 \(t=a\) 到 \(t=b\) 的 arc length 进行求和。
首先，将曲线 \(C\) 从 \(t=a\) 到 \(t=b\) 划分成 \(n\) 条 subarcs，某一条 subarc 的长度为 \(\Delta s_k\)。在每一条 subarc 里选择一个点 \((x_k, y_k,z_k)\)，则对应的黎曼和为
\[ S_n = \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k, z_k)\Delta s_k. \]
定义：若 \(f\) 为定义在可参数化为 \(\mathbf r(t) = g(t)\mathbf i + h(t)\mathbf j + k(t)\mathbf k, a\le t\le b\) 的 曲线 \(C\) 上的函数，则 \(f\) 在 \(C\) 上的线积分为
\[ \int_C f(x, y, z)\mathop{ds} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k, z_k)\Delta s_k \]
如果曲线 \(C\) 在定义域上都是 smooth 的，也即 \(\mathbf v = \mathop{d\mathbf r}/\mathop{dt}\) 连续且不为 \(\mathbf 0\)，并且函数 \(f\) 在 \(C\) 上也是连续的，那么可以证明上述的积分存在。可以通过运用微积分基本定理 对 arc length 微分
\[ s(t) = \int_a^t |\mathbf{v}(\tau)|\mathop{d\tau} \]
重新代入积分式中，可以变形得到
\[ \int_C f(x, y, z)\mathop{ds} = \int_a^b f(g(t), h(t), k(t))|\mathbf v(t)|\mathop{dt}. \]
如何 evaluate 一个线积分
- 找到曲线 \(C\) 的一个 smooth 参数化
\[ \mathbf r(t) = g(t)\mathbf i + h(t)\mathbf j + k(t)\mathbf k, \quad a \le t \le b. \]
- 根据下式 evaluate 线积分
\[ \int_C f(x, y, z)\mathop{ds} = \int_a^b f(g(t), h(t), k(t))|\mathbf{v}(t)|\mathop{dt}. \]
\(f(g(t), h(t), k(t))\) 也可以写作 \(f(\mathbf r(t))\)。
可加性
如果一条曲线 \(C\) 是 piecewise smooth 的，那么可以将不同区间上的积分相加
\[ \int_C f\mathop{ds} = \int_{C_1} f\mathop{ds} + \int_{C_2} f\mathop{ds} + \cdots + \int_{C_n} f\mathop{ds}. \]
两点之间的线积分可能随积分路径的改变而改变
质量与 moment 计算
假设一条螺旋型弹簧或是线的质量是随着一条空间中的 smooth 曲线均匀分布的，单位 arc length 上的质量可以连续地表达为 \(\delta(x, y, z)\)。曲线 \(C\) 可以表达为连续的参数 化 \(\mathbf r(t) = g(t)\mathbf{i} + h(t)\mathbf j + k(t)\mathbf k, \quad a \le t \le b\)， 那么 arc length 微分可以由下式给出
\[ \mathop{ds} = \sqrt{ \left(\frac{\mathop{dx}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dy}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dz}}{\mathop{dt}}\right)^2 } \mathop{dt}. \]
这样一来质量就可以利用线积分来计算
\[ M = \int_a^b \delta (x(t),y(t),z(t))\sqrt{ \left(\frac{\mathop{dx}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dy}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dz}}{\mathop{dt}}\right)^2 } \mathop{dt}. \]
空间中 smooth 曲线 \(C\) 上的螺旋弹簧、线与细杆的质量和 moment 公式
质量：\(\displaystyle M = \int_C \delta\mathop{ds}\)
关于坐标平面的 first moments：
\[ M_{yz} = \int_C x\delta\mathop{ds},\quad M_{xz} = \int_C y\delta\mathop{ds},\quad M_{xy} = \int_C z\delta\mathop{ds} \]
质心坐标：
\[ \bar x = M_{yz}/M, \quad \bar y = M_{xz}/M, \quad \bar z = M_{xy}/M \]
关于坐标轴和其他直线的转动惯量：
\[ \begin{aligned} & I_x \int_C (y^2 + z^2)\delta\mathop{ds}, \quad I_y \int_C (x^2 + z^2)\delta\mathop{ds}, \quad I_z \int_C (x^2 + y^2)\delta\mathop{ds}, \\ \\ & I_x \int_C r^2\delta\mathop{ds} \qquad r(x,y,z) = \text{distance from the point } (x,y,z) \text{ to line } L \end{aligned} \]
平面上的线积分
对于一个平面上的曲线的线积分，有一种很巧妙的几何 interpretation。如果 \(C\) 是一条 \(xy\)- 平面上的可以被参数化为 \(\mathbf r(t) = x(t)\mathbf i + y(ts)\mathbf j, a\le t\le b\) 的 smooth 曲线，通 过沿着 \(C\) 移动一条垂直于 \(xy\) 平面的线段，我们可以由此生成一个 cylindrical 曲 面 —— 线段的长度应当为 \(f(x, y)\)。
这样生成的图形有点类似于篱笆，这些「篱笆」的面积之和即为 \(f\) 对曲线 \(C\) 的线积 分。
\[ \int_C f\mathop{ds} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k)\Delta s_k \]