高等数学（下）期末复习：15.8 多重积分中的换元
这一节介绍包含在坐标系变换中的简化多重积分的 idea。这样的方法通过简化积分式，或是 积分上下限，或是两者都简化来监护多重积分的计算。
详细的逻辑推导则是数学分析课程的内容。
二重积分的还原法
之前的章节中提到的极坐标代换，其实有着对应的更为 general 的形式。
假设有区域 \(G\) 在 \(u\text{-}v\) 平面上，被 transformed 到 \(x\text{-}y\) 平面上的区 域 \(R\) 上，其对应关系为
\[ x=g(u,v),\quad y=h(u,v) \]
假设对于 \(G\) 的内部，这样的变换时一一对应的，则称 \(R\) 为 \(G\) 在这一变换下 的像 1，而 \(G\) 即为 \(R\) 的原像 2。既然如此，任意定义在区域 \(R\) 上的函 数 \(f(x,y)\) 都可以与定义在 \(G\) 上的函数 \(f(g(u,v),h(u,v))\) 联系起来。
Recall Calculus Ⅰ 中的换元积分法：
\[ \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\mathop{dx} = \int_a^b f(g(u))g'(u)\mathop{du}. \quad x=g(u),\mathop{dx}=g'(u)\mathop{du} \]
现在要做的事情就是在一元函数的还原积分与多元函数的还原法之间建立起一个类比。
首先，要找到在多元积分中对应的一个 derivative factor，相当于换元积分法中 的 \(g'(u)\)，以联系变换前后的面积 元 \(\mathop{du}\mathop{dv}\) 与 \(\mathop{dx}\mathop{dy}\)，暂且将其记作 \(J\)。这个 factor 应当与 \(u\) 和 \(v\) 的瞬时变化率有关，所以应当包含它们的偏导数 —— 并且应当 是 \(x\)，\(y\)，\(u\)，\(v\) 间的四个偏导数都包含。这一个性质可以由以下定义的式子包含 ——
定义：坐标系变换 \(x=g(u,v),y=h(u,v)\) 的雅各布行列式 3，或 曰 Jacobian 为
\[ J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}. \]
Jacobian 也可标记为
\[ J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \]
Jacobian 可以被视为是对坐标系内每一个小矩形面积的拉伸或者压缩，通过这个 factor，以 匹配在 \(G\) 和 \(R\) 坐标系内的小矩形面积。
定理 3：二重积分的换元法 假定 \(f(x,y)\) 在区域 \(R\) 上连续，令 \(G\) 为变 换 \(x=g(u,v),y=h(u,v)\) 下 \(R\) 的原像，假定该变换在 \(G\) 的内部是一一映射的。若在 \(G\) 内 部，函数 \(g\) 与 \(h\) 有连续的一阶偏导数，则
\[ \iint_R f(x,y)\mathop{dx}\mathop{dy} = \iint_G f(g(u,v),h(u,v)) \left | \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right | \mathop{du}\mathop{dv}. \]
不难发现，其实所需要的 factor 可以理解为微元（小矩形）的面积之比值。
三重积分的换元法
前面章节提到的柱面坐标系和球面坐标系都是三重积分中换元法的特例，三重积分的换元法 与二重积分类似，只是需要推广到三维之中。
假设有 \(uvw\)- 空间中的区域 \(G\) 依照如下关系被一一映射到 \(xyz\)- 空间中的区域 \(R\) 上
\[ x=g(u,v,w),\quad y=h(u,v,w),\quad z=k(u,v,w). \]
如此一来，任意定义在 \(D\) 上的函数 \(F(x,y,z)\) 都可以表示为定义在 \(G\) 上的函数
\[ F(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w)) = H(u,v,w) \]
若 \(g\)，\(h\)，\(k\) 有连续的一阶偏导数，那么 \(F(x,y,z)\) 在 \(D\) 上的积分可以表示为
\[ \iiint\limits_D F(x,y,z)\mathop{dx}\mathop{dy}\mathop{dz} = \iiint\limits_G H(u,v,w)\left|J(u,v,w)\right| \mathop{du}\mathop{dv}\mathop{dw}. \]
因子 \(J(u,v,w)\) 同样称作雅各布行列式
\[ J(u,v,w) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix} = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \]
类似的，三元情况下的雅各布行列式描述在 \(G\) 中这一点附近的 cell 体积被拉伸或是压缩的 比例。