高等数学（下）期末复习：15.7 柱面和球面坐标系下的三重积分

15.7 柱面和球面坐标系¹ 下的三重积分

为了简化一些问题，有时候需要将积分转换到柱面或者球面坐标系进行，转换的方法与 15.4 节中转换为极坐标的方法类似。

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柱面坐标系下的积分

将 x-y 平面上的极坐标系与 z 轴相结合，得到柱面坐标系。

定义：柱面坐标系以有序的 triples(r,θ,z)，来表示空间中的一个点， 其中 r ≥ 0，

1. r 与 θ 是点再 x − y 平面上投影的极坐标
2. z 是直角坐标系下的竖坐标

Fig. 15.43

柱面坐标系的坐标与直角坐标系下的坐标有如下联系

$$\begin{array}{r}x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z,\\ r^2=x^2+y^2,\tan \theta =y/x\end{array}.$$

在柱面坐标系下，不同的坐标值为常数有不同的意义。r 为常数代表一定半径的圆柱 面，θ 为常数代表与 x-z 平面成一定角度的包含 z 轴的平面，z 为常数代 表一定高度的水平面。

Fig. 15.44

在柱面坐标系下求三重积分，有关于 cell、norm 等的定义都于在直角坐标系下相似，不过进 行切分的时候需要分为 wedge 形状而不是立方体，而它的体积则是在极坐标系的结论基础上 乘上一个 Δz 值

lim_{n → ∞}S_n = ∭_DfdV  = ∭_Dfdz rdr dθ .

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如何在柱面坐标系下进行积分

要 evaluate

∭_Df(r,θ,z)dV .

按照 z，r，θ 的顺序进行，有如下的几个步骤

1. 画图 - 画出积分区域以及其在 x-y 平面上的投影 R（前文提到过的 shadow），标出围绕成 D 和 R 的曲面、曲线

2. 找到 z 值的积分上下限 - 过一个普通的点 r, θ，作与 z 轴平行的直线，穿 过 D。标记进入和穿出点的 z 值，即为对 z 进行积分的上下限

3. 找到对 r 积分的上下限 - 作一条过原点与 (r,θ) 的射线，穿过区域 R，标记进 入和离开区域的 r 值，即为对 r 进行积分的上下限

4. 找到对 θ 积分的上下限 - 也即整个 R 区域（或者整个 D 区域）所对应的最大和 最小的 θ 值

Limits of Triple Integral

三重积分可以被转化为

∭_Df(r,θ,z)dV  = ∫_θ = α^θ = β∫_{r = h1(θ)}^{r = h₂(θ)}∫_{z = g1(r,θ)}^{z = g₂(r,θ)}f(r,θ,z)dz rdr dθ .

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球面坐标系与积分

定义：球面坐标系通过有序 triple(ρ,ϕ,θ) 来表示空间中的一 点 P

1. ρ 表示 P 到原点的距离（ρ ≥ 0）
2. ϕ 为 $\text{overrightharpoon}OP$ 与 z 轴正方向所成的夹角（0 ≤ ϕ ≤ π）
3. θ 从柱面坐标系中得来

Fig. 15.49

在球面坐标系中，ρ 值为常数代表一定半径的球面;ϕ 值为常数代表一定张角的锥 面，钝角或锐角则决定锥面开口的方向；θ 为常数代表与 x-z 成一定夹角的 平面。

联系球面坐标系与笛卡尔坐标系、柱面坐标系的公式

$$\begin{array}{r}r=\rho \sin \varphi ,x=r\cos \theta =\rho \sin \varphi \cos \theta ,\\ z=\rho \cos \varphi ,y=r\sin \theta =\rho \sin \varphi \sin \theta ,\\ \rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+z^2}.\end{array}$$

球面坐标系下对应的黎曼和极限为

lim_{n → ∞}S_n = ∭_Df(r,ρ,θ)dV  = ∭_Df(ρ,ϕ,θ)ρ²sin ϕdρ dϕ dθ .

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如何在球面坐标系下积分

要 evaluate

∭_Df(ρ,ϕ,θ)dV 

按照 ρ，ϕ，θ 的顺序积分

Limits of Integration in Spherical Coordinates

1. 画图 - 画出积分区域以及其在 x-y 平面上的投影 R（前文提到过的 shadow），标出围绕成 D 的曲面

2. 找到 ρ 值的积分上下限 - 过原点作一条射线 M 穿过 D，与 z 轴正半轴 成 ϕ 角。同时也画出 M 在 x-y 平面上的投影 L，与 x 轴正半轴 成 θ 角。标记出 M 进入和离开区域 D 时的 ρ 值，即为对 ρ 进行积分的 上下限

3. 找到对 ϕ 积分的上下限 - 对于任意的 θ，包围区域的最大、最小 ϕ 值即 为对 ϕ 进行积分的上下限

4. 找到对 θ 积分的上下限 - 也即整个 R 区域（或者整个 D 区域）所对应的最大和 最小的 θ 值

积分式可以转化为

∭_Df(ρ,ϕ,θ)dV  = ∫_θ = α^θ = β∫_{ϕ = ϕmin}^{ϕ = ϕ_max}∫_{ρ = g1(ϕ,θ)}^{ρ = g₂(ϕ,θ)}f(ρ,ϕ,θ)ρ²sin ϕdρ dϕ dθ .

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1. Cylindrical & Spherical Coordinates↩︎