高等数学(下)期末复习:15.6 Moments 与质心

15.6 Moments 与质心 1

这一节有关于计算二维或三维形状的质量和 moments

(那一天人们又想起了曾一度被 Pearson assignment 里 moment 计算题所支配的恐惧)


质量与 First Moments

假定占据区域 \(D\) 的物体的密度由 \(\delta(x,y,z)\) 给出,那么 \(\delta\) 在对区域 \(D\) 的积分 即为物体的质量,可以通过黎曼和表达式的变形很简单地得到。

solid 区域 \(D\) 关于某个坐标平面的 \(first\ moment\) 定义为区域中的点到坐标平面的距离乘 上密度再对区域积分。举例,\(y\text{-}z\) 平面的 \(first\ moment\)

\[ M_{yz} = \iiint_D x\delta(x,y,z)dV. \]

在某一坐标轴方向的质心则表示为对应坐标平面上的 \(first\ moment\) 除以总质量,如 \(x\) 轴 上的质心为

\[ \bar{x} = \frac{M_{yz}}{M}. \]

对于二维的物体,比如一个薄平盘状,忽略掉 \(z\) 方向即可。例如关于 \(y\) 轴的 first moment 为

\[ M_y = \iint_R x\delta(x,y)dA. \]


转动惯量 2

first moment 有关物体的平衡点,以及有关于不同的坐标轴物体所受重力场的力矩。而 second moment 或者 moment of inertia 则有关物体绕某根轴以一定角速度旋转时所储存的能 量(有关于转动惯量)。

对于到转轴半径为 \(r_k\) 的旋转中的某个 cell,它的线速度为

\[ v_k = \frac{d}{dt}(r_k\theta) = r_k\frac{d\theta}{dt} = r_k\omega. \]

所以这一个 cell 所具有的动能为

\[ \frac{1}{2}\Delta m_k v_k^2 = \frac{1}{2}\Delta m_k(r_k \omega)^2 = \frac{1}{2}\omega^2 r_k^2 \Delta m_k. \]

对所有 cell 的动能求和,并且取极限,最后的结果即为积分

\[ \text{KE}_\text{shaft} = \int \frac{1}{2}\omega^2 r^2 dm = \frac{1}{2}\omega^2 \int r^2 dm. \]

其中因子

\[ I = \int r^2 dm \]

即为物体的转动惯量,满足

\[ \text{KE}_\text{shaft} = \frac{1}{2}I\omega^2. \]

(以上均为大物内容)

对于三维的 solid 也类似,其转动惯量为

\[ I_L = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n \Delta I_k = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n r^2(x_k,y_k,z_k)\delta(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k = \iiint_D r^2\delta dV. \]


  1. centers of mass↩︎

  2. Moments of Inertia↩︎