高等数学（下）期末复习：15.6 Moments 与质心
15.6 Moments 与质心 1
这一节有关于计算二维或三维形状的质量和 moments
（那一天人们又想起了曾一度被 Pearson assignment 里 moment 计算题所支配的恐惧）
质量与 First Moments
假定占据区域 \(D\) 的物体的密度由 \(\delta(x,y,z)\) 给出，那么 \(\delta\) 在对区域 \(D\) 的积分 即为物体的质量，可以通过黎曼和表达式的变形很简单地得到。
solid 区域 \(D\) 关于某个坐标平面的 \(first\ moment\) 定义为区域中的点到坐标平面的距离乘 上密度再对区域积分。举例，\(y\text{-}z\) 平面的 \(first\ moment\) 为
\[ M_{yz} = \iiint_D x\delta(x,y,z)dV. \]
在某一坐标轴方向的质心则表示为对应坐标平面上的 \(first\ moment\) 除以总质量，如 \(x\) 轴 上的质心为
\[ \bar{x} = \frac{M_{yz}}{M}. \]
对于二维的物体，比如一个薄平盘状，忽略掉 \(z\) 方向即可。例如关于 \(y\) 轴的 first moment 为
\[ M_y = \iint_R x\delta(x,y)dA. \]
转动惯量 2
first moment 有关物体的平衡点，以及有关于不同的坐标轴物体所受重力场的力矩。而 second moment 或者 moment of inertia 则有关物体绕某根轴以一定角速度旋转时所储存的能 量（有关于转动惯量）。
对于到转轴半径为 \(r_k\) 的旋转中的某个 cell，它的线速度为
\[ v_k = \frac{d}{dt}(r_k\theta) = r_k\frac{d\theta}{dt} = r_k\omega. \]
所以这一个 cell 所具有的动能为
\[ \frac{1}{2}\Delta m_k v_k^2 = \frac{1}{2}\Delta m_k(r_k \omega)^2 = \frac{1}{2}\omega^2 r_k^2 \Delta m_k. \]
对所有 cell 的动能求和，并且取极限，最后的结果即为积分
\[ \text{KE}_\text{shaft} = \int \frac{1}{2}\omega^2 r^2 dm = \frac{1}{2}\omega^2 \int r^2 dm. \]
其中因子
\[ I = \int r^2 dm \]
即为物体的转动惯量，满足
\[ \text{KE}_\text{shaft} = \frac{1}{2}I\omega^2. \]
（以上均为大物内容）
对于三维的 solid 也类似，其转动惯量为
\[ I_L = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n \Delta I_k = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n r^2(x_k,y_k,z_k)\delta(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k = \iiint_D r^2\delta dV. \]