高等数学（下）期末复习：15.4 极坐标下的二重积分

有时将二重积分转换到极坐标下进行计算会更为简单，这一节将介绍如何进行这种转化，以 及如何对极坐标方程进行二重积分。

极坐标系中的积分

在开始讨论矩形上的二重积分时，很自然地可以想到将区域划分为多个小矩形，（由于区域 的边界值对应的 x 或者 y 坐标都为常数）。在极坐标平面上的区域内，对应的概念就是将 区域划分为许多个 “polar rectangles”，它的边对应常量 r 或 θ 值，此处只考 虑 r ≥ 0 的坐标。

假定有函数 f(r,θ) 定义在由射线 θ = α，θ = β 以及连续曲 线 r = g₁(θ),r = g₂(θ) 围成的区域上，假 定 0 ≤ g₁(θ) ≤ g₂(θ) ≤ a，区域 R 将落在一个扇形的范 围 0 ≤ r ≤ a，α ≤ θ ≤ β 内。

Fig. 15.22

这样一来可以将区域划分为许多个由弧和射线构成的网格，半径为 Δr, 2Δr, …, mΔr，其中 Δr = a/m；射线为 θ = α, θ = α + Δθ, θ = α + 2Δθ, …, θ = α + m′Δθ = β，其中 Δθ = (β−α)/m′。 这一系列 partition 就是 “polar rectangles”。

同样是给这些 “polar rectangles” 编号，取 (r_k,θ_j) 为落在对应的 partition 内的 一点，则黎曼和为

$$S_n=\sum _{k=1}^{n}f(r_k,{\theta }_k)\mathrm{\Delta }{A}_k.$$

同笛卡尔坐标系下类似，当 Δr 与 Δθ 趋近于 0 时，黎曼和的极限就定义 为区域上的二重积分：

lim_{n → ∞}S_n = ∬_Rf(r,θ)dA.

为了计算出黎曼和，首先要把 ΔA_k 用 Δr 与 Δθ 表示出来。方 便起见，把 r_k 定在 “polar rectangle” 内弧与外弧的中间。

Fig. 15.23

这样一来 “polar rectangle” 的面积为

$$\mathrm{\Delta }{A}_k=\frac{1}{2}{(r_k+\frac{\mathrm{\Delta }r}{2})}^2\mathrm{\Delta }\theta -\frac{1}{2}{(r_k-\frac{\mathrm{\Delta }r}{2})}^2\mathrm{\Delta }\theta =r_k\mathrm{\Delta }r\mathrm{\Delta }\theta .$$

代换进黎曼和表达式，得到

lim_{n → ∞}S_n = ∬_Rf(r,θ)rdrdθ.

如果运用 Fubini 定理的话，可以进一步改写成

∬_Rf(r,θ)dA = ∫_θ = β^θ = α∫_{r = g1(θ)}^{r = g₂(θ)}f(r,θ)rdrdθ.

---

找到积分的上下界

直角坐标系中找积分上下界的方法在极坐标系中依然适用，按照先对 r 积分再 对 θ 积分的顺序，可以按这样的步骤进行：

1. 画图 - 画出要求积分的区域并且标记围成区域的曲线
2. 找到 r 的积分上下限 - 从原点出发画一条射线穿过积分区域，分别标记进入、离开区 域时的 r，即为对 r 积分的上下限（一般是跟射线与 x 轴正方向的夹角 θ 有关 的式子）
3. 找到 θ 积分的上下限 - 包围求积分区域的最小和最大的 θ 边界值

极坐标系中的面积 极坐标系中封闭有界区域 Rd 的面积为

A = ∬_Rrdrdθ.

---

将笛卡尔积分变换为极坐标积分

包含两个步骤：

1. 作代换 x = rcos θ 以及 y = rsin θ，将 dxdy 替换为 rdrdθ
2. 在极坐标系中通过区域的边界找到积分上下限

∬_Rf(x,y)dxdy = ∬_Gf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

代换的过程和 Calculus Ⅰ 中的换元积分无异。多元函数积分更加 general 的换元会在 15.8 中 介绍。