高等数学（下）期末复习：15.4 极坐标下的二重积分
有时将二重积分转换到极坐标下进行计算会更为简单，这一节将介绍如何进行这种转化，以 及如何对极坐标方程进行二重积分。
极坐标系中的积分
在开始讨论矩形上的二重积分时，很自然地可以想到将区域划分为多个小矩形，（由于区域 的边界值对应的 \(x\) 或者 \(y\) 坐标都为常数）。在极坐标平面上的区域内，对应的概念就是将 区域划分为许多个 "polar rectangles"，它的边对应常量 \(r\) 或 \(\theta\) 值，此处只考 虑 \(r \ge 0\) 的坐标。
假定有函数 \(f(r,\theta)\) 定义在由射线 \(\theta = \alpha\)，\(\theta = \beta\) 以及连续曲 线 \(r=g_1(\theta)\),\(r=g_2(\theta)\) 围成的区域上，假 定 \(0\le g_1(\theta)\le g_2(\theta) \le a\)，区域 \(R\) 将落在一个扇形的范 围 \(0 \le r \le a\)，\(\alpha \le \theta \le \beta\) 内。
这样一来可以将区域划分为许多个由弧和射线构成的网格，半径为 \(\Delta r\), \(2\Delta r\), ..., \(m\Delta r\)，其中 \(\Delta r=a/m\)；射线为 \(\theta = \alpha\), \(\theta = \alpha+\Delta\theta\), \(\theta = \alpha+2\Delta\theta\), ..., \(\theta = \alpha+m'\Delta\theta=\beta\)，其中 \(\Delta\theta=(\beta -\alpha)/m'\)。 这一系列 partition 就是 "polar rectangles"。
同样是给这些 "polar rectangles" 编号，取 \((r_k,\theta_j)\) 为落在对应的 partition 内的 一点，则黎曼和为
\[ S_n = \sum_{k=1}^n f(r_k,\theta_k)\Delta A_k. \]
同笛卡尔坐标系下类似，当 \(\Delta r\) 与 \(\Delta \theta\) 趋近于 0 时，黎曼和的极限就定义 为区域上的二重积分：
\[ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iint_R f(r,\theta)dA. \]
为了计算出黎曼和，首先要把 \(\Delta A_k\) 用 \(\Delta r\) 与 \(\Delta \theta\) 表示出来。方 便起见，把 \(r_k\) 定在 "polar rectangle" 内弧与外弧的中间。
这样一来 "polar rectangle" 的面积为
\[ \Delta A_k = \frac{1}{2}\left(r_k + \frac{\Delta r}{2}\right)^2 \Delta\theta - \frac{1}{2}\left(r_k - \frac{\Delta r}{2}\right)^2 \Delta\theta = r_k\Delta r\Delta\theta. \]
代换进黎曼和表达式，得到
\[ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iint_R f(r,\theta)rdrd\theta. \]
如果运用 Fubini 定理的话，可以进一步改写成
\[ \iint_R f(r,\theta)dA = \int_{\theta=\beta}^{\theta=\alpha} \int_{r=g_1(\theta)}^{r=g_2(\theta)} f(r,\theta)rdrd\theta. \]
找到积分的上下界
直角坐标系中找积分上下界的方法在极坐标系中依然适用，按照先对 \(r\) 积分再 对 \(\theta\) 积分的顺序，可以按这样的步骤进行：
- 画图 - 画出要求积分的区域并且标记围成区域的曲线
- 找到 \(r\) 的积分上下限 - 从原点出发画一条射线穿过积分区域，分别标记进入、离开区 域时的 \(r\)，即为对 \(r\) 积分的上下限（一般是跟射线与 \(x\) 轴正方向的夹角 \(\theta\) 有关 的式子）
- 找到 \(\theta\) 积分的上下限 - 包围求积分区域的最小和最大的 \(\theta\) 边界值
极坐标系中的面积 极坐标系中封闭有界区域 \(R\)d 的面积为
\[ A = \iint_R rdrd\theta. \]
将笛卡尔积分变换为极坐标积分
包含两个步骤：
- 作代换 \(x=r\cos\theta\) 以及 \(y=r\sin\theta\)，将 \(dxdy\) 替换为 \(rdrd\theta\)
- 在极坐标系中通过区域的边界找到积分上下限
\[ \iint_R f(x,y)dxdy = \iint_G f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta \]
代换的过程和 Calculus Ⅰ 中的换元积分无异。多元函数积分更加 general 的换元会在 15.8 中 介绍。