高等数学（下）期末复习：15.2 普遍区域上的二重积分

这一节将会讨论二重积分更 general 的形式，而非仅是在矩形区域上进行积分。

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在有界、非矩形区域上的积分

与上一章节中的矩形区域情况下一样，我们依然取很多的 partition，但这一次由于区域边 界并不规则，必然出现有些 partition 部分在区域内部分在区域外的情况，我们只考虑完 全在区域内的 partition。

Fig. 15.8

同样地，如果 partition 的数量越来越多，或者 norm 越来越小，partition 的总和就越来越能 够逼近整个区域。此时的黎曼和极限

$$\underset{||P||\to 0}{lim}\sum _{k=1}^n(f{x}_k,y_k)\mathrm{\Delta }{A}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(f{x}_k,y_k)\mathrm{\Delta }{A}_k$$

就称作 f(x,y) 在区域 R 上的二重积分（前提是极限存在）

∬_Rf(x,y)dA  or  ∬_Rf(x,y)dxdy

有趣的事实是，绝大多数的边界形状，都会满足只要 norm 足够小，partition 填补区域的 不足之处都可以被忽略 —— 只要边界由首尾相连的连续图形构成，而例外则是分形 ¹ 图 形。

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体积

跟前一节的定义类似，可以通过二重积分计算一定区域与函数曲面形成的体积。

如果区域 R 由曲线 y = g₁(x) 与 y = g₂(x)，以及直线 x = a，x = b 围成，通过切片的方 法，每个切片的面积可以表示为

A(x) = ∫_{y = g1(x)}^{y = g₂(x)}f(x,y)dy

最终的体积可以表示为

V = ∫_a^bA(x)dx = ∫_a^b∫_g1(x)^g₂(x)dydx

Fig. 15.10

f 是高度，沿着 dy 方向进行积分，得到切片面积

如果组成区域边界的 y 值是常函数，那么结果也类似，即外层积分上下界都是常数，内层 积分上下界是函数，不过对 dx，dy 积分的顺序会有变化。

定理 2：Fubini 定理（加强形式） >f(x,y) 是区域 R 上的连续函数

• 如果 R 定义 为 a ≤ x ≤ b，g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)，g₁，g₂ 在 [a,b] 上连 续，则有

∬_Rf(x.y)dA = ∫_a^b∫_g1(x)^g₂(x)dydx

• 如果 R 定义 为 c ≤ y ≤ d，h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)，h₁，h₂ 在 [c,d] 上连 续，则有

∬_Rf(x.y)dA = ∫_c^d∫_h1(y)^h₂(y)dxdy

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找到积分的上下界

在使用 Fubini 定理的过程中，最重要的就是找到积分的上下界来求出结果。以选择垂直 于 x 轴的的切片方法为例：

1. 画图 - 画出积分区域并标注包围区域的曲线

2. 找到积分的 y 值上下界 - 假想有一条线从下到上穿过区域 R，标记这条线进入 和离开 R 区域时的 y 值作为上下界

3. 找到积分的 x 值上下界 - 选择包括了所有这样穿过区域的线的 x 范围（也就是最小 的 x 和最大的 x）

Fig. 15.14

如果选择在水平方向进行切片，步骤也类似。

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二重积分的性质

连续函数的二重积分和单积分类似，也有一些代数上的推论，都比较 trivial，如线性性 质，符号判别，可加性之类。这些结论都通过黎曼和极限的代数性质推论而来。

此外，很显然通过二重积分的结果不能仅用体积来解释，因为函数值可正可负，应该称之为 signed-volume。

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1. fractal↩︎