高等数学（下）期末复习：15.2 普遍区域上的二重积分
这一节将会讨论二重积分更 general 的形式，而非仅是在矩形区域上进行积分。
在有界、非矩形区域上的积分
与上一章节中的矩形区域情况下一样，我们依然取很多的 partition，但这一次由于区域边 界并不规则，必然出现有些 partition 部分在区域内部分在区域外的情况，我们只考虑完 全在区域内的 partition。
同样地，如果 partition 的数量越来越多，或者 norm 越来越小，partition 的总和就越来越能 够逼近整个区域。此时的黎曼和极限
\[ \lim_{||P|| \rightarrow 0} \sum^n_{k=1} {(fx_k,y_k) \Delta A_k} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum^n_{k=1} {(fx_k,y_k) \Delta A_k} \]
就称作 \(f(x,y)\) 在区域 \(R\) 上的二重积分（前提是极限存在）
\[ \iint_R {f(x,y)dA} \quad \text{or} \quad \iint_R {f(x,y)dxdy} \]
有趣的事实是，绝大多数的边界形状，都会满足只要 norm 足够小，partition 填补区域的 不足之处都可以被忽略 —— 只要边界由首尾相连的连续图形构成，而例外则是分形 1 图 形。
体积
跟前一节的定义类似，可以通过二重积分计算一定区域与函数曲面形成的体积。
如果区域 \(R\) 由曲线 \(y=g_1(x)\) 与 \(y=g_2(x)\)，以及直线 \(x=a\)，\(x=b\) 围成，通过切片的方 法，每个切片的面积可以表示为
\[ A(x) = \int^{y=g_2(x)}_{y=g_1(x)} f(x,y)dy \]
最终的体积可以表示为
\[ V = \int^b_a A(x)dx = \int^b_a \int^{g_2(x)}_{g_1(x)} dydx \]
\(f\) 是高度，沿着 \(dy\) 方向进行积分，得到切片面积
如果组成区域边界的 \(y\) 值是常函数，那么结果也类似，即外层积分上下界都是常数，内层 积分上下界是函数，不过对 \(dx\)，\(dy\) 积分的顺序会有变化。
定理 2：Fubini 定理（加强形式） >\(f(x,y)\) 是区域 \(R\) 上的连续函数
- 如果 \(R\) 定义 为 \(a \leq x \leq b\)，\(g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\)，\(g_1\)，\(g_2\) 在 \([a,b]\) 上连 续，则有
\[ \iint_R f(x.y)dA = \int^b_a \int^{g_2(x)}_{g_1(x)} dydx \]
- 如果 \(R\) 定义 为 \(c \leq y \leq d\)，\(h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\)，\(h_1\)，\(h_2\) 在 \([c,d]\) 上连 续，则有
\[ \iint_R f(x.y)dA = \int^d_c \int^{h_2(y)}_{h_1(y)} dxdy \]
找到积分的上下界
在使用 Fubini 定理的过程中，最重要的就是找到积分的上下界来求出结果。以选择垂直 于 \(x\) 轴的的切片方法为例：
画图 - 画出积分区域并标注包围区域的曲线
找到积分的 \(y\) 值上下界 - 假想有一条线从下到上穿过区域 \(R\)，标记这条线进入 和离开 \(R\) 区域时的 \(y\) 值作为上下界
找到积分的 \(x\) 值上下界 - 选择包括了所有这样穿过区域的线的 \(x\) 范围（也就是最小 的 \(x\) 和最大的 \(x\)）
如果选择在水平方向进行切片，步骤也类似。
二重积分的性质
连续函数的二重积分和单积分类似，也有一些代数上的推论，都比较 trivial，如线性性 质，符号判别，可加性之类。这些结论都通过黎曼和极限的代数性质推论而来。
此外，很显然通过二重积分的结果不能仅用体积来解释，因为函数值可正可负，应该称之为 signed-volume。
fractal↩︎