高等数学（下）期末复习：15.1 矩形上的二重与累次积分

15.1 矩形上的二重与累次积分 ¹

在 Calculus Ⅰ 里，通过黎曼和 ² 定义了一元函数定积分的概念，对于二元函数也类似。

二重积分

考虑函数 f(x,y) 在一个矩形的区域上：

R:  a ≤ x ≤ b,  c ≤ y ≤ d

可以分别沿 x 和 y 方向把这个矩形区域分成很多小矩形，每一块称为一 个 partition，宽 Δx，高 Δy，有面 积 ΔA = ΔxΔy。长宽中较大的那个，称为这一个 partition 的 norm，记为 ||P||

image-20200624142611464

假如我们给每一个 partition 编号，我们所关心的就是当 partition 的数量趋近于无穷大，也 就是当 partition 的 norm 趋近于 0 时的黎曼和：

$$\underset{||P||\to 0}{lim}\sum _{k=1}^n(f{x}_k,y_k)\mathrm{\Delta }{A}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(f{x}_k,y_k)\mathrm{\Delta }{A}_k$$

如果通过选择不同的 partition 划分方式进行求和，极限都存在（自然也需要相等），我们 就称函数 f 在这个区域上是可积的，这个极限就被称作 f 在 R 上的二重积分 , 记 作

∬_Rf(x,y)dA  or  ∬_Rf(x,y)dxdy

连续函数和只在有限的点处不连续的函数都是可二重积分的。

---

作为体积的二重积分

如果 f(x,y) 在区域 R 上恒正，将每一个小长方体区域 f(x_k,y_k)ΔA_k 加和， 当 n 趋近于零时，就可以近似于曲面下的体积，也就是二重积分。

image-20200727211935514

---

用以计算二重积分的 Fubini 定理

举例，若要求平面 z = 4 − x − y 矩形区域区域 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 上形成的 体积，首先可以沿着垂直于 x 轴的方向进行切片，这样总体积就可以表示为每片体积的 和：

∫_x = 0^x = 2A(x)dx

如图所示

image-20200727213006318

而面积又可以表示为积分

A(x) = ∫_y = 0^y = 1(4−x−y)dy

最终的结果可以简写成

∫₁²∫₀¹(4−x−y)dydx

也就是将一个二重积分转换为了可以一步步计算出来的 iterated 积分或者叫 做 repeated 积分。

REMARK：dy 和 dx 的顺序具有特别的含义，需要按照从里到外的顺序来计算

如果选择不同的切片方式，会得到调换了顺序的积分式，但结果肯定是相同的。

定理 1：Fubini 定理（第一形式） 若 f(x,y) 在矩形区 域 a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d 上连续，则有

∬_Rf(x,y)dA = ∫_c^d∫_a^bf(x,y)dxdy = ∫_a^b∫_c^df(x,y)dydx

Fubini 定理给了我们一种计算二重积分的方法，并且切片的选择方式不同会使得计算难度不 同。

---

1. Double and Iterated Integrals over Rectangles↩︎

2. Riemann Sums↩︎