高等数学（下）期末复习：15.1 矩形上的二重与累次积分
15.1 矩形上的二重与累次积分 1
在 Calculus Ⅰ 里，通过黎曼和 2 定义了一元函数定积分的概念，对于二元函数也类似。
二重积分
考虑函数 \(f(x,y)\) 在一个矩形的区域上：
\[ R:\quad a\le x\le b,\quad c\le y \le d \]
可以分别沿 \(x\) 和 \(y\) 方向把这个矩形区域分成很多小矩形，每一块称为一 个 partition，宽 \(\Delta x\)，高 \(\Delta y\)，有面 积 \(\Delta A=\Delta x \Delta y\)。长宽中较大的那个，称为这一个 partition 的 norm，记为 \(||P||\)
假如我们给每一个 partition 编号，我们所关心的就是当 partition 的数量趋近于无穷大，也 就是当 partition 的 norm 趋近于 0 时的黎曼和：
\[ \lim_{||P|| \rightarrow 0} \sum^n_{k=1} {(fx_k,y_k) \Delta A_k} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum^n_{k=1} {(fx_k,y_k) \Delta A_k} \]
如果通过选择不同的 partition 划分方式进行求和，极限都存在（自然也需要相等），我们 就称函数 \(f\) 在这个区域上是可积的，这个极限就被称作 \(f\) 在 \(R\) 上的二重积分 , 记 作
\[ \iint_R {f(x,y)dA} \quad \text{or} \quad \iint_R {f(x,y)dxdy} \]
连续函数和只在有限的点处不连续的函数都是可二重积分的。
作为体积的二重积分
如果 \(f(x,y)\) 在区域 \(R\) 上恒正，将每一个小长方体区域 \(f(x_k,y_k)\Delta A_k\) 加和， 当 \(n\) 趋近于零时，就可以近似于曲面下的体积，也就是二重积分。
用以计算二重积分的 Fubini 定理
举例，若要求平面 \(z=4-x-y\) 矩形区域区域 \(0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1\) 上形成的 体积，首先可以沿着垂直于 \(x\) 轴的方向进行切片，这样总体积就可以表示为每片体积的 和：
\[ \int^{x=2}_{x=0}{A(x)dx} \]
如图所示
而面积又可以表示为积分
\[ A(x) = \int^{y=1}_{y=0}{(4-x-y)dy} \]
最终的结果可以简写成
\[ \int^2_1\int^1_0{(4-x-y)dydx} \]
也就是将一个二重积分转换为了可以一步步计算出来的 iterated 积分或者叫 做 repeated 积分。
REMARK：\(dy\) 和 \(dx\) 的顺序具有特别的含义，需要按照从里到外的顺序来计算
如果选择不同的切片方式，会得到调换了顺序的积分式，但结果肯定是相同的。
定理 1：Fubini 定理（第一形式） 若 \(f(x,y)\) 在矩形区 域 \(a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\) 上连续，则有
\[ \iint_R f(x,y)dA = \int^d_c \int^b_a f(x,y)dxdy = \int^b_a \int^d_c f(x,y)dydx \]
Fubini 定理给了我们一种计算二重积分的方法，并且切片的选择方式不同会使得计算难度不 同。