高等数学（下）期末复习：14.6 切平面与 Differential
14.6 切平面 1 与 Differential
切平面很好理解，但是 Differential 翻译起来有点困难，记得高数 Ⅰ 的时候教授说 Differential 有点像线性化 2？（实际上就是线性化的增量）。可能应该翻译成微分吧， 前一节里的 “全微分” 可能应该叫做全导数更好。
切平面与法线 3
先回顾一下上一节最后的那个结论。
假定 \(\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}\) 是 level surface \(f(x,y,z) = c\) 上的一条光滑曲线，，根据上一节的最后一部分路径链式法则的 公式，有
\[ \frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). \]
REMARK：这个公式感觉有点 tricky，要注意一下
由于 \(f(\mathbf{r}(t))\) 是一个常数 \(c\)（因为是 level surface），所以式子左边等于 0， 也就是说右边的两个向量是正交的。推广一下，在某个点 \(P_0\)，这一点上的梯度向量是垂 直于所有通过 \(P_0\) 的路径的 velocity 向量 \(\mathbf{r}'\) 的。
定义
可微函数 \(f\) 的 level surface \(f(x,y,z) = c\) 上一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 处的的切 平面为经过 \(P_0\) 且正交于 \(\nabla f|_{P_0}\) 的平面。曲面在 \(P_0\) 处的法线为经 过 \(P_0\) 且平行于 \(\nabla f|_{P_0}\) 的直线。
于是切平面和法线有如下的方程：
\(f(x,y,z) = c\) 在 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面
\[ f_x(P_0)(x-x_0) + f_y(P_0)(y-y_0) + f_z(P_0)(z-z_0) = 0 \]
\(f(x,y,z) = c\) 在 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 处的法线
\[ x = x_0 + f_x(P_0)t, \quad y = y_0 + f_y(P_0)t, \quad z = z_0 + f_z(P_0)t \]
前面的这些结论都是针对 level curve，但表示曲面还有另一种方式是通过方 程 \(z = f(x,y)\)，只需要进行移项，看作一个新的三元函数即可。
曲面 \(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) 处的切平面 >\(f\) 同样必须可微
\[ f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0 \]
估算在特定方向上的变化值
已经有了方向导数的定义，跟一元函数的微分类似，做一个简单的变换就可以得到变化值的 估算式：
估算 \(f\) 在 \(\mathbf{u}\) 方向上的变化
\[ df=(\nabla f|_{P_0}\cdot\mathbf{u})ds \]
二元函数的线性化
前几个章节提到了二元函数的可微条件：
\[ f(x,y) - f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y \]
其中 \(\epsilon_1\)，\(\epsilon_2\) 分别为 \(\Delta x\)，\(\Delta y\) 的高阶无穷小，至于到底 为什么就是数学分析的内容。
由此可以得到：
定义
函数 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微，那么在这个点附近可以作近似
\[ f(x,y) \approx L(x,y) = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) \]
\(L(x,y)\) 称为 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处的标准线性近似 4
对比下前文切平面的式子，发现是一样的ヾ (^▽^*)))
标准线性近似的误差
\(M\) 是 \(|f_{xx}|\)，\(|f_{xy}|\)，\(|f_{yy}|\) 的任何一个上界，则标准线性近似的误 差 \(E\) 满足
\[ |E(x,y)|\le \frac 12 M(|x-x_0|+|y-y_0|)^2 \]
误差公式的推导出现在后面的章节中。
微分 5
已经有了全导数的定义，做一点变形，得到
定义
从 \((x_0,y_0)\) 移动到附近的一个点 \((x_0+dx,y_0+dy)\)，引起 \(f\) 的线性化产生变化
\[ df = f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy \]
称作 \(f\) 的全微分
多元函数
跟二元函数差不多，只是加入跟其他的变量对应的项即可。