高等数学（下）期末复习：14.6 切平面与 Differential

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14.6 切平面 1 与 Differential

切平面很好理解，但是 Differential 翻译起来有点困难，记得高数 Ⅰ 的时候教授说 Differential 有点像线性化 2？（实际上就是线性化的增量）。可能应该翻译成微分吧， 前一节里的 “全微分” 可能应该叫做全导数更好。

切平面与法线 3

先回顾一下上一节最后的那个结论。

假定 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 是 level surface f(x,y,z) = c 上的一条光滑曲线，，根据上一节的最后一部分路径链式法则的 公式，有

ddtf(r(t))=∇f(r(t))⋅r′(t).

REMARK：这个公式感觉有点 tricky，要注意一下

由于 f(r(t)) 是一个常数 c（因为是 level surface），所以式子左边等于 0， 也就是说右边的两个向量是正交的。推广一下，在某个点 P0，这一点上的梯度向量是垂 直于所有通过 P0 的路径的 velocity 向量 r′的。

定义

可微函数 f 的 level surface f(x,y,z) = c 上一点 P0(x0,y0,z0) 处的的切 平面为经过 P0 且正交于∇f|P0 的平面。曲面在 P0 处的法线为经 过 P0 且平行于∇f|P0 的直线。

于是切平面和法线有如下的方程：

f(x,y,z) = c 在 P0(x0,y0,z0) 处的切平面

fx(P0)(x−x0) + fy(P0)(y−y0) + fz(P0)(z−z0) = 0

f(x,y,z) = c 在 P0(x0,y0,z0) 处的法线

x = x0 + fx(P0)t,  y = y0 + fy(P0)t,  z = z0 + fz(P0)t

前面的这些结论都是针对 level curve，但表示曲面还有另一种方式是通过方 程 z = f(x,y)，只需要进行移项，看作一个新的三元函数即可。

曲面 z = f(x,y) 在 (x0,y0,f(x0,y0)) 处的切平面 >f 同样必须可微

fx(x0,y0)(x−x0) + fy(x0,y0)(y−y0) − (z−z0) = 0

估算在特定方向上的变化值

已经有了方向导数的定义，跟一元函数的微分类似，做一个简单的变换就可以得到变化值的 估算式：

估算 f 在 u 方向上的变化

df = (∇f|P0⋅u)ds

二元函数的线性化

前几个章节提到了二元函数的可微条件：

f(x,y) − f(x0,y0) = fx(x0,y0)Δx + fy(x0,y0)Δy + ϵ1Δx + ϵ2Δy

其中 ϵ1，ϵ2 分别为 Δx，Δy 的高阶无穷小，至于到底 为什么就是数学分析的内容。

由此可以得到：

定义

函数 f(x,y) 在 (x0,y0) 可微，那么在这个点附近可以作近似

f(x,y) ≈ L(x,y) = fx(x0,y0)(x−x0) + fy(x0,y0)(y−y0)

L(x,y) 称为 f 在 (x0,y0) 处的标准线性近似 4

对比下前文切平面的式子，发现是一样的ヾ (^▽^*)))

标准线性近似的误差

M 是 |fxx|，|fxy|，|fyy| 的任何一个上界，则标准线性近似的误 差 E 满足

|E(x,y)|≤12M(|x−x0|+|y−y0|)2

误差公式的推导出现在后面的章节中。

微分 5

已经有了全导数的定义，做一点变形，得到

定义

从 (x0,y0) 移动到附近的一个点 (x0+dx,y0+dy)，引起 f 的线性化产生变化

df = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy

称作 f 的全微分

多元函数

跟二元函数差不多，只是加入跟其他的变量对应的项即可。

  1. tangent plane↩︎

  2. linearization↩︎

  3. normal lines↩︎

  4. standard linear approximation↩︎

  5. differentials↩︎