高等数学（下）期末复习：14.5 方向导数与梯度向量

Posted on 2020-06-20 Edited on 2025-07-07 Views: 67

14.5 方向导数与梯度向量 ¹

（先从正在复习的部分开始吧，前面的内容如果有机会再去填坑）

引入平面上的方向导数 ²

前一个章节里把多元函数的导数（全微分）定义为了 f(x,y) 沿着两条特殊的方向，也即 x = g(t) 和 y = h(t) 的参数方程方向上的导数的和。这本教材里只给出了一个说明，详细的的证明需要数学分析的知识

$\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}$

对应于任一点 P(g(t),h(t))，也即由 t 的参数方程确定的整个区域上的每一点。

既然如此，我们就可以找一个方向 u = u₁i + u₂j（注意是单位向量），去研究这个方向上的导数，而这条线上的点就可以对应表示为

x = x₀ + su₁, y = y₀ + su₂

s 表示的就是弧长参数，我们的目的就是对它作微分。

定义

在点 P₀(x₀,y₀) 处，沿着单位向量 u = u₁i + u₂j 的方向导数为

${(\frac{d f}{d s})}_{u, P_{0}} = lim_{x \to 0} \frac{f (x_{0} + s u_{1}, y_{0} + s u_{2}) - f (x_{0}, y_{0})}{s}$

前提是这个极限存在

方向导数也可以记为 (D_uf)_P₀

方向导数的含义

也就是方向向量所对应的一个平面，截多元函数曲面所得到的 trace curve 的导数。

方向导数的计算与梯度 ³

通过链式法则来推导方向导数的计算：

$\begin{aligned} {(\frac{d f}{d s})}_{u, P_{0}} = & {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{P_{0}} \frac{d x}{d s} + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{P_{0}} \frac{d y}{d s} \\ = & {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{P_{0}} u_{1} + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{P_{0}} u_{2} \\ = & [{(\frac{\partial f}{\partial y})}_{P_{0}} i + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{P_{0}} j] \cdot [u_{1} i + u_{2} j] \end{aligned}$

也就是说，其实方向导数可以表示为某个向量与单位方向向量的内积。

定义梯度向量⁴ 为

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j$

可以读作 “grad f” 或者 “gradient of f” 或者 “del f”，“∇” 读作 “del”，名为 “Nabla” 算子。

定理 9：方向导数作为点积 若 f(x,y) 在包含 P₀(x₀,y₀) 的 open region 上可微，则

${(\frac{d f}{d s})}_{u, P_{0}} = {(\nabla f)}_{P_{0}} \cdot u$

也即

D_uf = ∇f ⋅ u

由于 u 为一个单位向量，所以方向导数也可以表示为|∇f|cos θ，于是就有与特殊夹角有关的一些结论。

梯度与 Level Curves 的切线

依然利用链式法则：

$\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (g (t), h (t)) & = \frac{d}{d t} (c) \\ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d g}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d h}{d t} & = 0 \\ \underset{\nabla f}{\underset{⏟}{(\frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j)}} \cdot \underset{\frac{d r}{d t}}{\underset{⏟}{(\frac{d g}{d t} i + \frac{d h}{d t} j)}} & = 0 \end{aligned}$

也就是说，梯度向量与 Level Curves 的切线方向是正交的。

Level Curve 的切线

f_x(x₀,y₀)(x−x₀) + f_y(x₀,y₀)(y−y₀) = 0

梯度的代数法则 符合线性条件，此外 ∇(fg) = f∇g + g∇f > $(f g) =$

有点类似于复合函数的导数（实际上不就是导数吗）。

三元函数

以上结论都适用，只需对应替换成三元的向量即可。

路径的链式法则

假定有一条平滑的路径 C : r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k，又有一个标量函数 w = f(r(t))，根据定义，f 的全微分就可以表示为

$\frac{d}{d t} f (r (t)) = \nabla f (r (t)) \cdot r^{'} (t)$

Directional Derivatives and Gradient Vectors↩︎
Directional Derivatives in the Plane↩︎
Gradient↩︎
Gradient Vectors↩︎

14.5 方向导数与梯度向量 1

引入平面上的方向导数 2