高等数学（下）期末复习：14.10 含有 Constrained 变量的偏导数

之前讨论的多元函数的偏导数问题都是关于独立变量的，但是变量之间也可能相互约束。例 如，气体的内能表达式为 U = f(P,V,T)，但是变量之间又受制于理想气体定律 PV = nRT。

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求解有限制条件的多元函数的偏导数

求偏导数的一个问题是，确定哪些变量是独立的，哪些变量是依赖于其他变量的。例如，有 4 个变量，2 个限制条件的式子，就只能解出用两个独立变量表达另外两个受制变量的式子， 进而求偏导数。独立变量不同，求出的结果具有完全不同的含义。

确定独立变量之后，便进行消元，将因变量用自变量表示出来，然后求导。

如果直接进行代换消元比较难，可以先在约束条件式子两侧同时取微分，然后再求解所需要 的偏导数。

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记法 ¹

y 为独立变量，w 对 x 偏导数可以表示为

$${\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}_y$$

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箭头图 ²

求解含限制条件的多元函数的偏导数，比较 format 的方法是用箭头图。例如，现在已知

$$\{\begin{array}{l}w=x^2+y^2+z^2+\sin t\\ x+y=t\end{array}$$

x, y, z 为独立变量，要求 w 对 x 的偏导数，可以画出箭头图

$$\begin{array}{ccccc}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ t\end{array}\right)& \to & w\\ \begin{array}{c}\text{Independent}\\ \text{variables}\end{array}& & \begin{array}{c}\text{Intermediate}\\ \text{variables}\end{array}& & \begin{array}{c}\text{Dependent}\\ \text{variable}\end{array}\end{array}$$

中间这一块有点 tricky，想起教授说的一句很经典的话，“Always use Chain Rule”，其实 也可以改成

$$\begin{array}{ccccc}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ t\end{array}\right)& \to & w\\ \begin{array}{c}\text{Independent}\\ \text{variables}\end{array}& & \begin{array}{c}\text{Intermediate}\\ \text{variables}\end{array}& & \begin{array}{c}\text{Dependent}\\ \text{variable}\end{array}\\ & & \{\begin{array}{l}u=x\\ v=y\\ s=z\\ t=x+y\end{array}& & \end{array}$$

最后的结果就相当于求全偏导数，即

$$\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}$$

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1. Notation↩︎

2. Arrow Diagram↩︎