高等数学（下）期末复习：14.10 含有 Constrained 变量的偏导数
之前讨论的多元函数的偏导数问题都是关于独立变量的，但是变量之间也可能相互约束。例 如，气体的内能表达式为 \(U = f(P,V,T)\)，但是变量之间又受制于理想气体定律 \(PV=nRT\)。
求解有限制条件的多元函数的偏导数
求偏导数的一个问题是，确定哪些变量是独立的，哪些变量是依赖于其他变量的。例如，有 4 个变量，2 个限制条件的式子，就只能解出用两个独立变量表达另外两个受制变量的式子， 进而求偏导数。独立变量不同，求出的结果具有完全不同的含义。
确定独立变量之后，便进行消元，将因变量用自变量表示出来，然后求导。
如果直接进行代换消元比较难，可以先在约束条件式子两侧同时取微分，然后再求解所需要 的偏导数。
记法 1
\(y\) 为独立变量，\(w\) 对 \(x\) 偏导数可以表示为
\[ \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_y \]
箭头图 2
求解含限制条件的多元函数的偏导数，比较 format 的方法是用箭头图。例如，现在已知
\[ \begin{cases} w = x^2 + y^2 + z^2 + \sin t \\ x + y =t \end{cases} \]
\(x\), \(y\), \(z\) 为独立变量，要求 \(w\) 对 \(x\) 的偏导数，可以画出箭头图
\[ \begin{matrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} & \rightarrow & w \\ \color{blue}{\begin{matrix} \text{Independent} \\ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Intermediate} \\ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Dependent} \\ \text{variable} \end{matrix}} \end{matrix} \]
中间这一块有点 tricky，想起教授说的一句很经典的话，"Always use Chain Rule"，其实 也可以改成
\[ \begin{matrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} & \rightarrow & w \\ \color{blue}{\begin{matrix} \text{Independent} \\ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Intermediate} \\ \text{variables} \end{matrix}} && \color{blue}{\begin{matrix} \text{Dependent} \\ \text{variable} \end{matrix}} \\ && \color{blue}{\begin{cases} u = x \\ v = y \\ s = z \\ t = x + y \end{cases}} && \end{matrix} \]
最后的结果就相当于求全偏导数，即
\[ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x} \]