高等数学（下）期末复习：15.3 由二重积分得到面积

这一节有关利用二重积分计算平面上有界区域的面积，以及二元函数的平均值。

平面上有界区域的面积

如果取二元函数的值为 f(x,y) = 1，那么二重积分的黎曼和为

$$S_n=\sum _{k=1}^{n}f(x_k.y_k)\mathrm{\Delta }{A}_k=\sum _{k=1}^n\mathrm{\Delta }{A}_k$$

也就是所有 partition 面积的和，取极限即为区域的总面积

$$\underset{||P||\to 0}{lim}\sum _{k=1}^n\mathrm{\Delta }{A}_k={\iint }_{R}dA$$

定义：平面上封闭、有界区域 R 的面积为

A = ∬_RdA

计算的方法则是将 f(x,y) = 1 在区域 R 上积分。

均值

与单变量函数的均值类似，二元函数在某个区域 R 上的均值可以表示为

$$\frac{{\iint }_{R}fdA}{{\iint }_{R}dA}$$

也即 “体积除以底面积”